Bi-telecentric lenses tutorial
近年來，機器視覺技術在尺寸測量中的應用已經愈加流行：相機、軟體和照明組件的進步使得達到甚至超越直接接觸法和鐳射方法的精度成為可能。
成功的機器視覺整合商越來越意識到高品質光學產品具有優越的系統性能，而遠心鏡頭對於任何尺寸的測量成像應用都是必需的：軟體工程師要想對機械部件進行精確測量，就需要使用幾何畸變盡可能低的高對比度圖像；透視效應在被測物體未精確放置或具有高度三維性時會引起放大倍率變化，因此也必須最大限度地減少或消除。
除了圖像處理問題之外，視覺系統設計者還必須考慮到常見的近心光學器件引起的幾個限制測量應用精度和可重複性的因素：
- 物體位移導致的放大倍率變化
- 圖像畸變
- 透視誤差
- 較差的圖像解析度
- 光源幾何形狀導致的物體邊緣位置的不確定性
遠心鏡頭可以減少甚至消除以上大部分問題，因此它成為開發高精度測量應用的一個關鍵部件。
基本鏡頭類型
近心：入瞳在鏡頭內部
遠心：入瞳在無限遠處
環外側：入瞳在鏡頭前方
放大倍率穩定性
在測量應用中，經常需要用到物體的正交視圖（即沒有物側成像），以便可以執行正確的線性測量。
此外，許多機械部件無法精確定位（例如，由於振動），或者必須在不同的深度或甚至更糟的情況下進行測量時，物體的厚度（進而物體表面的位置）可能會發生變化；然而儘管如此，軟體工程師依然需要成像尺寸與實際尺寸之間的完美對應。
普通鏡頭在不同的共軛位置呈現不同的放大倍率：因此，當物體移動時，其圖像大小的變化與物體到鏡頭的距離幾乎成正比。任何人都可以在日常生活中輕鬆體驗到這一點，例如使用配備有標準攝影鏡頭的相機拍照時。
當更改物體到鏡頭的距離（圖中標記為「s」）時，標準鏡頭會產生不同大小的圖像。
另一方面，當具有相同視角時，不同大小的物體看起來具有相同的尺寸。
左：分別使用標準鏡頭（頂部）和遠心鏡頭（底部）拍攝的圓柱形物體的內花鍵。
右：分別使用標準鏡頭（頂部）和遠心鏡頭（底部）拍攝的兩個完全相同的機器螺絲（分開100 mm）。
當物體保持在一定的範圍內時，遠心鏡頭獲得的圖像尺寸不會隨物體位移而發生變化，這一範圍通常被稱為「景深」或「遠心範圍」。
這是由於光線在光學系統內的特定路徑而產生的：只有重心線（或「主光線」）平行於光機主軸時，才能被物鏡捕獲到。因此，前端鏡頭的直徑至少要與物方視場對角線一樣大。
這種光學行為透過將孔徑光闌精確定位於前方光學組的焦平面上而獲得：入射光瞄準看似來自於無限遠處的入瞳。「telecentric」（遠心）這個詞語來源於「tele」（古希臘語中的意思是「遠」）和「centre」（中心）（指的是瞳孔孔徑——光學系統的實際中心）。
在遠心光學系統中，光線只能通過平行於光軸的路徑進入光學器件。
為了感受兩種不同物鏡的區別，我們設想一個標準鏡頭，焦距f = 12 mm，銜接一個1/3"的探測器，面對一個高度H = 20 mm、距離s = 200 mm的物體。
假設物體位移ds = 1mm，其尺寸的變化將大約為：
dH = (ds/s) • H = (1/200) • 20 mm = 0.1 mm
對於一個遠心鏡頭，放大倍率的變化取決於「遠心斜率」：好的遠心鏡頭具有約為0.1°（0.0017弧度）的有效遠心斜率θ；這意味著，物體位移ds為 1 mm時，其尺寸只會改變
dH = ds • θ= 1 • 0.0017 mm = 0.0017 mm
因此，相比於標準鏡頭，遠心鏡頭放大倍率的誤差減少到1/10至1/100。
「遠心範圍」或「遠心深度」的概念通常被解釋為放大倍數保持不變的景深範圍。這個解釋的誤導之處在於它意味著剩餘空間是「非遠心的」，儘管這個參數總與處於相同範圍內的鏡頭產生的最大測量誤差有關。一個更重要的參數是「遠心斜率」（以上稱為「θ」）或「遠心度」。該角度定義了由於物體位移產生的測量誤差，無論被測物體放置在何處：由於主光線「沿直線傳播」，此誤差顯然與空間無關。
為了收集遠心光線，遠心鏡頭前方的光學組件必須至少與物體的最大尺寸一樣大；因此，相比於普通光學鏡頭，遠心鏡頭更大、更重，因此也更加昂貴。
低畸變
畸變是限制測量精度最嚴重的問題之一：即使性能最好的光學器件也會不同程度地受到畸變的影響，通常即使實際圖像與預期圖像僅有單個像素的區別，也可能成為嚴重的畸變。
簡單來講，畸變被定義為像點距圖像中心的距離與無畸變圖像上這一相同距離的百分比差值；它可以被看作物體的成像尺寸與其真實尺寸的偏差。例如，如果一個圖像上的一點距其中心198個像素，而無畸變時該點距圖像中心200個像素，則在這一點上的徑向畸變將為：
畸變 = (198 - 200) / 200 = -2/200 = 1%
正徑向畸變也被稱為「枕形」畸變，而負徑向畸變則被稱為「桶形」畸變：應當注意的是畸變取決於徑向位置，並可以改變正負。畸變也可以視為一個從真實世界到由鏡頭建立的虛擬空間的二維幾何變換；由於這種變換不是完全線性的，而是接近2階或3階的多項式，因此圖像會稍有拉伸和變形。
普通光學器件的畸變值會從幾個百分比到幾十個百分比不等，要獲得精確測量非常困難；當使用非遠心鏡頭時情況更糟。大多數機器視覺光學器件最初是針對視訊監控或攝影應用而開發出來的，因此相關畸變值通常被認為是可以接受的，因為人眼可以補償高達1 - 2%的畸變誤差。在某些情況下，如魚眼鏡頭或網路攝影機鏡頭，會特意引入畸變以使鏡頭可以在大角度下工作，同時也可以為探測器提供均勻照明（在這些情況下畸變有助於減少餘弦四次方定律效應）。
高品質的遠心鏡頭通常具有非常低的畸變度，其值在0.1%之內；儘管這個值看起來非常小，但由其導致的測量誤差會接近於高解析度相機一個像素的大小。出於這個原因，在大多數應用中，畸變需要使用軟體來校準：將一個精細圖案（其幾何精度必須至少為所需測量精度的十倍）放置在景深中心；然後在幾個像點處計算出畸變，根據這些數據，軟體算法可以將原始圖像轉換成無畸變圖像。
很少有人知道，畸變不僅取決於光學器件本身，還與被測物體的距離有關；因此，嚴格遵守額定工作距離是非常重要的。
我們建議將鏡頭與被測物體進行精密的垂直校準，這樣可以避免非同軸對稱畸變效應。梯形畸變（也稱為「梯形」或「薄棱鏡」效應）是光學檢測系統中另一個需要最小化的重要參數，因為它是非對稱的，且很難透過軟體進行校準。由於機械遊戲或光學元件偏離中心，鏡頭對焦機構也會引入一些對稱或非對稱的畸變效應。
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Left: “pincushion” type distortion
Right: “barrel” type distortion
左邊的圖片是用一個遠心鏡頭拍攝的畸變圖案，未出現徑向或梯形畸變。中間的圖片是同一圖案的另一拍攝結果，但顯示出明顯的徑向畸變。右邊則是梯形畸變的例子。
透視誤差限制
當使用普通的光學器件對三維物體（非完全平坦的物體）成像時，遠處物體看起來會比近處物體更小。因此，對一個圓柱空腔成像時，其頂冠和底冠邊緣會呈現為兩個同心圓，儘管實際上這兩個圓是完全相同的。
相反，在使用遠心鏡頭時，兩個冠邊緣是完全重疊的，底冠邊緣因而被完全遮擋。
這種效應取決於光線的特定路徑：在使用普通光學器件時，「平行」於主光軸的各種幾何資訊在探測器平面方向上也會具有分量，而使用遠心鏡頭時完全沒有這種垂直分量。
可以將一個普通鏡頭描述為一個數學函數，該函數建立起一個三維物體空間與二維探測器（圖像）空間之間的對應關係，而遠心鏡頭則建立一個二維——二維的對應關係，它不會展示被測物體的第三維度，因此成為剖面成像和尺寸測量的完美組件。
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普通的光學器件會產生明顯的圖像透視誤差（左圖）。
遠心鏡頭能夠消除所有的透視效應（右圖）。
普通光學器件（左）將縱向幾何資訊投射到探測器上，而遠心鏡頭沒有。
較好的圖像解析度
圖像解析度一般以量化相機探測器平面既有空間頻率對比度的CTF（對比傳遞函數）來衡量，單位為lp/mm（每毫米線對數）。
機器視覺整合商往往傾向於將具有大量小像素的相機與低像素、低解析度鏡頭結合使用，導致產生的圖像模糊；而本公司提供的遠心鏡頭解析度高，可配合像素尺寸極小的高解析度相機使用，從而提高測量解析度。
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不同CTF級別的光學器件所拍攝的標準美國空軍解析度測試圖之間有明顯的差異。
不存在邊緣位置不確定性
逆光拍攝物體時，往往很難確定其邊緣的確切位置。
因為在黑暗的背景下，物體邊緣的亮像素往往會與暗像素重疊。此外，如果物體具有高度的三維形狀，邊界效應也會進一步限制測量精度；如下圖所示，光線以一定的入射角掠過物體邊緣，被其表面反射後依然會被鏡頭捕獲。
鏡頭由此會認為這些光線來自物體後方；結果部分圖像片段可能消失，使得測量非常不精確且不穩定。
如果使用遠心鏡頭，則會大大減少普通成像鏡頭存在的邊界效應。
使用遠心鏡頭可以有效限制這種效應：如果瞳孔孔徑足夠小，那麼可以進入鏡頭的唯一反射光將是那些近於平行主光軸的光線。
由於這些光線受到非常小的偏差影響，因此物體表面對其的反射不會損害測量精度。
想要完全解決這些問題，可以將準直（也稱為「遠心」）照明器連接到遠心鏡頭，並利用平行光源發散度處理好鏡頭孔徑與視場的匹配。這樣一來，來自照明器的所有光均由鏡頭收集並傳送給探測器，同時可實現極高的信噪比和難以置信的低曝光時間。另一方面，只有「預期的」光線進入成像鏡頭，這樣就不會出現邊界問題了。
雙遠心鏡頭的優勢：
1. 更好的放大倍率穩定性
標準遠心鏡頭接收光軸平行於主光軸的光錐進入；如果鏡頭只是在物空間具有遠心性，穿過光學系統的光錐根據不同的場位從不同角度到達探測器。此外，由於入射遠心光線在像空間是非遠心的，光學波前完全非對稱。因此，光錐在探測器平面上產生的光斑，在像空間會全方位地發生形狀和大小上的改變（點分佈函數變為非對稱的，小圓斑變大且當從圖像中心向邊界移動時變成橢圓形）。
更糟糕的是，當被測物體發生位移時，來自一特定場點的光線會產生一個光斑，該光斑在像平面上來回移動，從而引起放大倍率的明顯變化。因此，非雙遠心鏡頭表現出較低的放大倍率穩定性，儘管只有在物空間測量時其遠心度可能很好。
雙遠心鏡頭在物空間和像空間兼具遠心性，這意味著主光線不僅在進入鏡頭時是平行的，在出射時也是平行的。
這一特性對解決單遠心鏡頭的所有精度問題（比如點擴散函數不均勻性及缺少整個景深的放大倍率穩定性）是至關重要的。
在非像空間中，遠心鏡頭（左）的光錐從不同角度到達探測器；而雙遠心鏡頭（右）的光錐以一種與場位無關的方式平行到達圖像傳感器。此外，遠心鏡頭中主光線的截距不隨景深變化。
2. 更大的景深
景深是物體從最佳焦點位置偏移的最大可接受值。超過這一值，圖像解析度就變得很差，因為來自物體的光線不能在探測器上產生足夠小的光斑：光線攜帶的幾何資訊分佈在太多的圖像像素上而產生了模糊效應。景深基本上取決於光學器件的F值，該值與鏡頭光圈直徑成反比：f值越高景深越大，二者擬線性相關。增大F值會降低光錐的發散度，從而允許較小的光斑在探測器上形成；但是F值增大到一定值時會引起衍射效應，從而限制了最大可達到的解析度。
當拍攝很厚的物體時，雙遠心度在獲得良好圖像對比度方面很有優勢：光學系統的對稱性以及光線的平行性促使圖像光斑保持對稱性，這樣可以降低模糊效應。這使得雙遠心光學器件的景深比非雙遠心的大20-30%。
雙遠心鏡頭擁有非常均勻的探測器照明，這在多個應用中都十分有用，比如LCD、紡織和印刷品質控制。
當雙色向濾光鏡不得不整合在光路中用以光度和輻射測量時，雙遠心度確保了光線扇面軸垂直於濾光鏡表面，從而在整個探測器表面保持了光學帶通。
一個雙遠心鏡頭連接了一個可調濾波器，用以執行高解析度色彩測量。倘若被測物體也被均勻照射，像側遠心度會保證光學帶通在整個濾波器表面都是均勻的，並提供均勻的探測器照明。
什麼情況下應使用遠心鏡頭
- When a thick object (thickness > 1/10 FOV diagonal) must be measured
- When different measurements on different object planes must be carried out
- When the object-to-lens distance is not exactly known or cannot be predicted
- When holes must be inspected or measured
- When the profile of a piece must be extracted
- When the image brightness must be very even
- When a directional illumination and a directional “point of view” are required.
